Teori Kombinasi dan Permutasi

Teori Kombinasi dan Permutasi

I.           PERMUTASI

                                
  Permutasi adalah suatu pengacakan dari objek-objek dengan memperhatikan urutannya. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi prinsip perkalian.

Rumus-rumus  permutasi

1.            Permutasi dari n obyek tanpa pengembalian

a.            Permutasi dari n obyek seluruhnya

Permutasi dari n obyek seluruhnya tanpa pengembalian dirumuskan :

nPn  = n !

Contoh soal

(1) Tentukan nilai dari 4 P 4

4P4 =  4 ! =  4  X  3  X  2  X  1  =  24

(2)    Pada suatu tempat terdapat 4 buku matematika yang berbeda, 3 buku statistik yang berbeda, dan 2 buku akuntansi. Semua buku akan disusun pada sebuah rak buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari kejadian berikut ini:

a.      Buku-buku matematika dapat disusun

b.      Buku-buku statistik dapat disusun

c.       Buku-buku akuntansi dapat disusun

d.      Ketiga kelompok buku dapat disusun

e.      Masing-masing kelompok buku ( subyek ) disusun bersama.

Jawab

a. Buku-buku matematika dapat disusun dalam

4P4 = 4 !  =  4 X 3 X 2 X 1 =  24 cara

b. Buku-buku statistik dapat disusun dalam

3P3 = 3 !  =  3 X 2 X 1  = 6 cara

c. Buku-buku akuntansi dapat disusun

2P2 = 2 ! = 2 X 1 =  2

d. Ketiga kelompok buku dapat disusun dalam

3P3 =  3 !  = 3 X 2 X 1 =  6 cara

e.Masing-masing kelompok buku disusun bersama

4!  X 3!  X 2! X 3!  =  24  X  6  X  2  X  6  =  1.728  cara 

b.            Permutasi sebanyak r dari n obyek

Permutasi sebanyak r dari n obyek tanpa pengembalian dirumuskan :

n! nPr  =   ------------  (n ≥ r )                (n – r ) !

Dimana

n  =  banyaknya seluruh obyek

r  =  banyaknya obyek yang dipermutasikan

Contoh                              

                                                     6 !              6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1     

(a) . Tentukan nilai dari 6P4 =  ---------  =   ------------------------------  =  360

                                                 ( 6 - 4 ) !                  2  X  1         

(b) Dari empat calon pimpinan sebuah perusahaan, misalkan A,B, C, D hendak dipilih seorang ketua, seorang sekertaris, dan seorang bendahara. Berapa cara keempat calon tersebut dipilih ?

n  =  4                                r  =  3

                  4 !                4  X  3  X  2  X  1

4P3 =   ------------  =    -----------------------  =  24 cara

               (4 -  3 )  !                    1

c.            Permutasi melingkar

Permutasi melingkar adalah sejumlah obyek yang membentuk lingkaran. Jika terdapat n obyek yang berbeda maka obyek-obyek tersebut dapat disusun dalam sebuah lingkaran sebanyak  :

( n  -  1 )  !

Contoh

Sekelompok orang yang terdiri dari 4 orang mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam berapa cara keempat orang tersebut dapat diatur sekeliling meja tersebut ?

n  =  4

( n – 1 ) !  =  ( 4 -1 ) !  =  3  !  =  3 X 2 X 1 =  6 cara

2.            Permutasi dari n obyek dengan  pengembalian

nPr  =  n r

Dimana  r  ≤ n  dan bilangan positif

Contoh :

Tentukan permutasi dari ABC sebanyak 2 unsur dengan pengembalian unsure yang terpilih

Jawab :

n  =  3  dan r  =  2

3P2  =  3²  =  9

3.            Permutasi dari n obyek yang sama

Rumus :

N  ! n P n1, n 2, n 3 , … =    ------------------                                        n1! n 2! n 3 ! …

Dengan  n₁+  n ₂  +  n ₃ , … =  n

Contoh  :

(1)   Tentukan permutasi dari kata “ T A M A T “

n  =  5            n₁ =  2          n _2 =   2            n ₃ =  1

                                  5  !                       5  X  4  X  3  X  2  X  1

5P 2, 2, 1  =   ------------------------  =  --------------------------------   =  30

                        2  !   X  2 !   X  1  !        2  X  1  X  2  X  1  X  1

(2)   4 bola putih, 5 bola kuning, dan 2 bola hitam disusun dalam satu baris. Jika semua bola yang berwarna sama tidak dibedakan satu sama lain, berapa carakah penyusunan yang mungkin ?

  n  =  11            n₁ =  4         n _{2 =}   5            n ₃ =  2

                                11  !  

11 P 4,5,2  =  --------------------------   =    6.930 

                  4  !   X   5  !  X  2  !

II.       KOMBINASI

Kombinasi adalah suatu penyususnan bebrapa obyek tanpa memperhatikan urutan obyek tersebut.

Contoh:

Ada 4 obyek, yaitu A, B, C, D . Kombinasi dari 3 obyek itu adalah  ABC, ABD, ACD, BCD.

Rumus

1.            Kombinasi r dari n obyek yang berbeda

n !     Cn r  =   -------------                      n     ≥  r              r ! ( n – r ) !

Contoh :

(1)    Tentukan nilai dari 6 C  4     

                       6  !

6C  4 =    ------------------      =  15

                 4 !  ( 6 - 4 ) ! 

     (2)  Dari 5 pemain bulutangkis yaitu A, B, C, D,dan  E  hendak dipilih dua orang

            untuk pemain ganda. Berapa pemain ganda yang mungkin terbentuk ?

           n = 5  dan  r  =  2

                                  5  !

          5 C  2    =   --------------------      =   10

                           2 !  (  5  -  2  ) !

2.            Hubungan permutasi dengan kombinasi

Hubungan antara permutasi dan kombinasi dinyatakan sebagai berikut :

nP r n P r   =   r  ! n C r            atau       n C r  =  -----------                                                                   r  !

Soal :

Tentukan nilai dari permutasi dan kombinasi berikut

(1) 4 P ³       =   3  !  4 C  3

                                             4 !

                 =   3 !  X   -----------------

3        !  (  4 – 3 ) !

                       =  6  X  4  =  24

                                 4 P ³

     (2) 4 C ³       =   ------------

                                   3  !

                                      4 !

                                   ---------

                                  ( 4 – 3 ) !

                         =    -----------------

3        !

4        !

                                    --------

1 !

                          =       ------------    =   4

 3 !